Simulationsmethoden

Was sind Simulationsmethoden?

Um Vorgänge und Phänomene in der Realität zu verstehen und zu beschreiben, werden in den Ingenieur- und Naturwissenschaften Modelle verwendet, die häufig auf Differentialgleichungen (DGLen) führen. In der Baustatik stehen zum Beispiel Verformungen und Spannungen im Mittelpunkt, die DGLen für Dehnstäbe und Biegebalken sind wichtiger Bestandteil der Bachelor-Ausbildung. Im Master werden Modelle für Kontinua (Scheiben, Platten, Volumenkörper) behandelt, die auf lineare oder nicht-lineare partielle DGLen führen. Die exakte Lösung von DGLen ist häufig nicht möglich, so dass sie näherungsweise mit Simulations-Methoden (numerischen Verfahren) gelöst werden müssen. Dies führt üblicherweise auf sehr große Gleichungssysteme, deren Aufbau und Lösung nur mit Hilfe von Computern möglich ist. Die bekannteste Simulations-Methode in der Baustatik ist die Finite Element Methode (FEM). Die Entwicklung und Anwendung numerischer Methoden zur Lösung komplexer Ingenieursaufgaben ist ein besonderer Schwerpunkt des Instituts für Baustatik.

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Erweiterte Finite Element Methode (XFEM)

Zahlreiche Phänomene in der Praxis haben Feldgrößen (Verschiebungen, Spannungen, Geschwindigkeiten, Druck), die lokal Sprünge, Knicke oder Singularitäten aufweisen. Dies ist zum Beispiel in der Bruchmechanik oder bei unterschiedlichen Materialeigenschaften im Gebiet der Fall. In der klassischen FEM ist es dann erforderlich, diesen nicht-glatten Lösungen durch geeignete Netze gerecht zu werden. Elementkanten müssen dann entlang der Diskontinuitäten ausgerichtet sein, und das Netz muss lokal an Singularitäten verfeinert werden. In der XFEM (engl: eXtended Finite Element Method) werden dagegen einfache Netze verwendet, ohne die nicht-glatten Lösungseigenschaften zu beachten. Letztere werden später über speziell zugeschnittene, zusätzliche Ansatzfunktionen berücksichtigt. Die XFEM wird am Insitut für Baustatik intensiv für Anwendungen in der Strukturmechanik (Bruchmechanik, Biomechanik) und in der Strömungsmechanik (Zweiphasen-Strömungen, Fluid-Struktur-Interaktion, Strömungen mit freien Oberflächen) eingesetzt.

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Isogeometrische Analyse (IGA)

CAD-Programme verwenden zur Beschreibung von Objekten NURBS-Funktionen. Sollen auf diesen Objekten z.B. Verschiebungen, Temperatur- oder Druckverteilungen mit Hilfe der FEM simuliert werden, so ist zunächst ein Vernetzungsprogramm erforderlich, um typische finite Elemente verwenden zu können. Allerdings gehen dabei wichtige Daten des CAD-Objekts verloren. So werden z.B. kreisförmige Ränder nur durch Polynome angenähert, häufig sogar nur durch einfache, stückweise gerade Linienzüge. Es hat sich jedoch gezeigt, dass die NURBS-Funktionen, die jedem CAD-Programm zugrunde liegen, auch alle Eigenschaften erfüllen, um anstelle der FEM-Funktionen direkt als Approximationsfunktionen eingesetzt werden zu können. Analog zum „isoparametrischen Konzept“, bei dem Geometrie und Ansatz durch FEM-Funktionen beschrieben werden, wird die Verwendung von NURBS-Funktionen für Geometrie und Ansatz als „isogeometrisches Konzept“ bezeichnet. Statt einer FEM-Simulation spricht man nun von isogeometrischer Analyse (IGA). Die IGA hat in den letzten 10 Jahren umfangreiche Forschungsaktivitäten ausgelöst und wird mittlerweile als "moderne FEM" betrachtet. Das Institut für Baustatik beschäftigt sich im Kontext der IGA mit Themen wie Trimming, Kollokation, der Kombination mit der Randelement-Methode und vielfältigen Anwendungen der Strukturmechanik.

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Fictitious Domain Methoden

Fictitious Domain Methoden verwenden ein festes, oft strukturiertes Hintergrundnetz zur Simulation, das der tatsächlichen Geometrie des betrachteten Gebiets zunächst keine Rechnung trägt. Die Grenzen des Gebiets schneiden quer durch die Elemente des Hintergrundnetzes. Der Vorteil ist, dass kein Aufwand für die Vernetzung erforderlich ist und die tatsächliche, exakte Geometriebeschreibung verwendet wird. Allerdings sind spezielle Integrationsregeln für die geschnittenen Elemente erforderlich und das Aufbringen der Randbedingungen ist anspruchsvoll. Das Institut für Baustatik beschäftigt sich mit Fictitious Domain Methoden, die ohne Vernetzungsaufwand zu Simulationen mit Genauigkeit höherer Ordnung führen.

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Netzfreie Verfahren

Im Gegensatz zur klassischen FEM benötigen netzfreie Verfahren nur Knoten im betrachteten Gebiet, ohne dass diese über Elemente (bzw. einem Netz) zueinander in Beziehung gesetzt werden. Die Konnektivität der Knoten wird automatisch während der Rechenzeit detektiert und die Approximationsfunktionen ausgewertet. Diese netzfreien Funktionen werden üblicherweise mit der Moving Least Squares Methode (MLS) generiert. Werden diese Funktionen dann (wie bei der FEM) im Rahmen der Methode der gewichteten Residuen eingesetzt, spricht man von der Element Free Galerkin Methode (EFG). Am Institut für Baustatik wird die EFG für Anwendungen in der Bruchmechanik und in der Strömungsmechanik eingesetzt.

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Randelemente Methode

Bei der Randelemente Methode (BEM: Boundary Element Method) braucht nur der Rand eines Gebietes vernetzt zu werden, nicht das Gebiet selbst. Sie ist in der Lage, mit Gebieten umzugehen, die sich teilweise ins Unendliche erstrecken. In der Strukturmechanik ist dies zum Beispiel bei einem elastisch gebetteten Fundament oder einem Tunnel relevant, in der Elektrostatik zum Beispiel bei der Bestimmung elektro-magnetischer Auswirkungen eines Gerätes. In der BEM existieren Freiheitsgrade nur am Rand und sind damit deutlich weniger als in der FEM. Allerdings ist das resultierende Gleichungssystem voll besetzt und meist nicht symmetrisch, im Gegensatz zum in der FEM üblichen Fall. Am Institut für Baustatik wird intensiv an der Kopplung von FEM und BEM gearbeitet, um die Vorteile jeder Methode auszunutzen. Die BEM ist im Kontext der IGA hervorragend einsetzbar, da die Gebiete von CAD-Programmen üblicherwiese nur durch die Oberflächen definiert sind und die BEM nur diese Beschreibung braucht.

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Fortgeschrittene FEM

Das Institut arbeitet in Forschung und Lehre laufend auf Themen der allgemeinen FEM, die unabhängig von den oben genannten Methoden sind. Darunter fallen zum Beispiel:

Gemischte und hybride Elemente
Enhanced-assumed-strain-Elemente und unterintegrierte Elemente
Untersuchung des Locking-Verhaltens
Adaptivität und Fehlerschätzung
Schalenelemente
Iterative Löser und Vorkonditionierung

Diese Themen werden auch im Kontext von nicht-linearen Modellen behandelt, also insbesondere bei Plastizität oder großen Verformungen.

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